Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，數列{a_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ） 求數列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（Ⅱ） 設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n

Answer 1

（1）a_n=2ⁿ    b_n=2n-1
（2）T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6

試題分析：（Ⅰ）先利用a_n是S_n與2的等差中項把1代入即可求a₁，利用S_n=2a_n-2，再寫一式，兩式作差即可求數列{a_n}的通項；對于數列{b_n}，直接利用點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，得數列{b_n}是等差數列即可求通項；
（Ⅱ）先把所求結論代入求出數列{c_n}的通項，再利用數列求和的錯位相減法即可求出其各項的和．
解：（Ⅰ）∵a_n是S_n與2的等差中項，
∴S_n=2a_n-2，①∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，②
①-②可得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2），即數列{a_n}是等比數列
∴a_n=2ⁿ，
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即數列{b_n}是等差數列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（Ⅱ）∵c_n=（2n-1）2ⁿ，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．
點評：本題考查數列的通項，考查數列求和的錯位相減法，考查計算能力，屬于中檔題