Question

如圖，設橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限.
（１）已知直線的斜率為，用表示點的坐標；
（２）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為.

Answer 1

（1）點的坐標為；（2）詳見解析．

試題分析：（1）已知直線的斜率為，用表示點的坐標，由已知橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，可設出直線的方程為，結合橢圓方程，得，消去得，，令，得，即，代入原式得點的坐標為，再由點在第一象限，得，可得點的坐標為；（2）點到直線的距離的最大值為，由直線過原點且與垂直，得直線的方程為，利用點到直線距離公式可得，即，由式子特點，需消去即可，注意到，代入即可證明．
（1）設直線的方程為，由，消去得，，由于直線與橢圓只有一個公共點，故，即，解得點的坐標為，由點在第一象限，故點的坐標為；
（2）由于直線過原點，且與垂直，故直線的方程為，所以點到直線的距離，整理得，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以點到直線的距離的最大值為.
點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，點單直線距離，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何得基本思想方法，基本不等式應用等綜合解題能力。