Question

（本題滿分12分）某廠家擬在2011年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足 (k為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件.已知2011年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
（Ⅰ）將2011年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；
（Ⅱ）該廠家2011年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大.

Answer 1

解 (Ⅰ)由題意可知當m=0時，x=1（萬件）,∴1=3-kk=2.∴……2分
每件產品的銷售價格為1.5× (元)，
∴2011年的利潤y=x·-(8+16x+m) ……………4分
=4+8x-m=4+8-m=-+29(m≥0). ……………6分
(Ⅱ)∵m≥0時，+(m+1)≥2=8, ……………8分
∴y≤-8+29=21, ……9分
當且僅當=m+1即m=3(萬元）時，等號成立……………11分
答：該廠家2011年的促銷費用投入為3萬元時，廠家的利潤最大。………12分

略