Question

若方程(

1

4

)x+(

1

2

)x-1+a=0有正數解，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：為便于處理，不妨設t=(

1

2

)x，于是可轉化為求關于t的方程t²+2t+a=0的根的問題，明顯地，原方程有正實數解，即可轉化為關于t的方程在（0，1）上有解的問題．于是問題迎刃而解．

解答：解：設t=(

1

2

)x，則有：a=-[(

1

2

)2x+2(

1

2

)x]=-t²-2t=-（t+1）²+1．
原方程有正數解x＞0，則0＜t=(

1

2

)x＜(

1

2

)0=1，
即關于t的方程t²+2t+a=0在（0，1）上有實根．
又因為a=-（t+1）²+1．
所以當0＜t＜1時有1＜t+1＜2，
即1＜（t+1）²＜4，
即-4＜-（t+1）²＜-1，
即-3＜-（t+1）²+1＜0，
即得-3＜a＜0．
故答案為：（-3，0）

點評：本替考查函數最值的求法，二次方程根的分布問題，以及對含參數的函數、方程的問題的考查，亦對轉化思想，換元法在解題中的應用進行了考查．