Question

已知一個長方體交于一頂點的三條棱長之和為1，其表面積為
（1）將長方體的體積V表示為其中一條棱長x的函數關系，并寫出定義域；
（2）求體積的最大、最小值；
（3）求體積最大時三棱長度．

Answer 1

解：（1）設三條棱長分別為：x，y，z，則x+y+z=1，…（1分）
得，
∴V==…（4分）
又∵y+z=1-x，，
∴y、z是方程的兩根得≤x≤
∴V=（ ≤x≤）．…（6分）
（2），得或…（8分）
當或時，V有最小值，
當或時，V有最大值．…（10分）
（3）當V有最大值時，三棱長分別為：． …（12分）
分析：（1）根據一個長方體交于一頂點的三條棱長之和為1，其表面積為，設三條棱長分別為：x，y，z，則x+y+z=1，，從而可得函數解析式，由此可確定函數的定義域；
（2）求導函數，求極值點，從而可確定函數的最值；
（3）由第（2）條件最大時x的值，結合x+y+z=1，，可求三棱長度．
點評：本題i長方體為載體，考查函數關系的建立，考查導數的運用，考查函數的最值，有綜合性．