Question

（2013•內江二模）過橢圓C：

x2

5

+y2=1的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于點M，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，則λ₁+λ₂=（　　）

A．10

B．5

C．-5

D．-10

Answer 1

分析：如圖所示，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題意，c=

a2-b2

=

5-1

=2，可得F（2，0）．設直線l的方程為：y=k（x-2），則M（0，-2k）．利用向量相等可以得到λ₁，λ₂的表達式，再將直線l的方程與橢圓的方程聯立，即可得到根與系數的關系，代入λ₁+λ₂即可．

解答：解：如圖所示，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意，c=

a2-b2

=

5-1

=2，∴F（2，0）．
設直線l的方程為：y=k（x-2），則M（0，-2k）．
∴

MA

=(x1，y1+2k)，

AF

=(2-x1，-y1)，

MB

=(x2，y2+2k)，

BF

=（2-x₂，-y₂）．
∵

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，∴x₁=λ₁（2-x₁），x₂=λ₂（2-x₂）．（*）
聯立

y=k(x-2) x2 5 +y2=1

，消去y得到（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，
∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

．
由（*）可得λ₁+λ₂=

x1

2-x1

+

x2

2-x2

=

x1(2-x2)+x2(2-x1)

(2-x1)(2-x2)

=

2(x1+x2-x1x2)

4-2(x1+x2)+x1x2

=

2( 20k2 1+5k2 - 20k2-5 1+5k2 )

4- 40k2 1+5k2 + 20k2-5 1+5k2

=-10．
故選D．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、向量的運算性質、直線與橢圓相交問題轉化為根與系數的關系等是解題的關鍵．