Question

已知函數f(x)=2x-

a

x

的定義域為（0，1]（a為實數）．
（1）當a=-1時，求函數y=f（x）的值域；
（2）當a＞0時，判斷函數y=f（x）的單調性并給予證明；
（3）若f（x）＞5在定義域上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a的值代入函數解析式，利用基本不等式求出函數的值域．
（2）當a＞0時，y=f（x）在（0，1]上為單調遞增函數，再利用定義證明；
（3）當x∈（0，1]時，f（x）＞5在定義域上恒成立，等價于a＜2x²-5x在x∈（0，1]時恒成立，求函數．g（x）=2x²-5x的最小值即可．

解答：解：（1）當a=-1時，f(x)=2x+

1

x

，
∵x∈（0，1]，
∴f(x)=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，當且僅當2x=

1

x

，即x=

2

2

時取等號，
∴函數y=f（x）的值域為[ 2

2

 ， +∞ )．
（2）當a＞0時，y=f（x）在（0，1]上為單調遞增函數．證明如下：任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=( x1-x2) ( 2+

a

x1x2

 )＜0，所以y=f（x）在（0，1]上為單調遞增函數．
（3）當x∈（0，1]時，f（x）＞5在定義域上恒成立，即a＜2x²-5x在x∈（0，1]時恒成立．
設g（x）=2x²-5x，當x∈（0，1]時，g（x）∈[-3，0），只要a＜-3即可，即a的取值范圍是（-∞，-3）．

點評：本題主要考查函數的值域，考查函數的單調性及恒成立問題，有一定的綜合性．