Question

設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求常數k的值；
（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3-2x）＞0，求x的取值范圍；
（3）若f(1)=

8

3

，且函數g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據函數的奇偶性的性質，建立方程即可求常數k的值；
（2）利用函數的奇偶性和單調性解不等式f（x+2）+f（3-2x）＞0，即可求x的取值范圍；
（3）根據f(1)=

8

3

求出a，然后利用函數的最小值建立方程求解m．

解答：解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數．
∴f（0）=0，即k-1=0，解得k=1．
（2）∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數．
∴不等式f（x+2）+f（3-2x）＞0等價為f（x+2）＞-f（3-2x）=f（2x-3），
∵0＜a＜1，
∴f（x）在R上是單調減函數，
∴x+2＜2x-3，
即x＞5．
∴x的取值范圍是（5，+∞）．
（3）∵f(1)=

8

3

，∴a-

1

a

=

8

3

，
即3a²-8a-3=0，
解得a=3或a=-

1

3

（舍去）．
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）=（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x），
令t=3^x-3^-x，
∵x≥1，
∴t≥f(1)=

8

3

，
∴（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2=（t-m）²+2-m²，
當m≥

8

3

時，2-m²=-2，解得m=2，不成立舍去．
當m＜

8

3

時，（

8

3

）²-2m×

8

3

+2=-2，
解得m=

25

12

，滿足條件，
∴m=

25

12

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及指數函數的性質和運算，考查學生的運算能力，綜合性較強．