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已知函數f（x）=asinx-x+b（a、b均為正常數）．
（1）證明函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；
（2）設函數f（x）在數學公式處有極值，對于一切數學公式，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍．

解：（1）∵f（0）=b＞0…
f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0…
∴函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點…
（2）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1…
由題意得，即…
問題等價于b＞x+cosx-sinx對一切恒成立…
記g（x）=x+cosx-sinx，
則…
∵…
∴
即
∴g'（x）≤0，即g（x）在上是減函數…
∴g（x）max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范圍是（1，+∞）…
分析：（1）函數f（x）=asinx-x+b在（0，a+b]內至少有一個零點，代入f（0）和f（a+b）利用零點定理進行求解；
（2）對f（x）進行求導，利用函數f（x）在處有極值，可得f′（）=0，求出a的值，將問題轉化為b＞x+cosx-sinx對一切恒成立，利用常數分離法進行求解；
點評：此題主要考查函數的零點定理以及函數的恒成立問題，利用導數研究函數的最值和極值問題，是一道基礎題；
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•海淀區二模）已知函數f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a|x|的圖象經過點（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a•2x+b•3x，其中常數a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數f（x）的單調性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數F（x）是奇函數；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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