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設常數a＞0，(ax2+
1
x
)4的二項展開式中x3的系數為
3
2
，則1+a+a2+a3+…+an+…=
2
2
．
分析：利用二項展開式通項公式Tr+1=c4r（ax2）4-r（-
1
x
）r，整理后，令x的次數等于3得到參數的方程，從而解得a，再結合等比數列的求和公式以及數列的極限即可得到結論．
解答：解：由二項展開式通項公式Tr+1=c4r（ax2）4-r（-
1
x
）r，
整理得Tr+1=（-1）rc4ra4-rx 8-
5r
2
，
令8-
5r
2
=3⇒r=2時，有（-1）2c42a2=
3
2
，
∴a=±
1
2
；
∵a＞0
∴a=
1
2
．
∴
lim
n→∞
1-(
1
2
)n
1-
1
2
=2．
故答案為：2．
點評：本題主要考查二項式展開式特定項的系數的求法以及等比數列求和公式及極限的運算，需要熟記展開式的通項公式，即Tr+1=cnran-rbr．是高考的常見題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞)上是增函數．
（1）如果函數y=x+
2b
x
(x＞0)在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）上是增函數，求b的值．
（2）設常數c∈[1，4]，求函數f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）當n是正整數時，研究函數g(x)=xn+
c
xn
(c＞0)的單調性，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設常數a＞0，(ax-
1
x
)5展開式中x3的系數為-
5
81
，則a=
 
，
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性質：在區間（0，
a
]上單調遞減，在[
a
，+∞）上單調遞增．
（1）如果函數f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上單調遞減，在[4，+∞）上單調遞增，求常數b的值．
（2）設常數a∈[l，4]，求函數y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+
2b
x
（x＞0）在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）是增函數，求b的值；
（2）證明：函數f（x）=x+
a
x
（常數a＞0）在（0，
a
]上是減函數；
（3）設常數c∈（1，9），求函數f（x）=x+
c
x
在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

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科目：高中數學 來源：朝陽區二模 題型：填空題

設常數a＞0，(ax-
1
x
)5展開式中x3的系數為-
5
81
，則a=______，
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=______．

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