Question

（本小題滿分14分）
平面直角坐標系中，已知直線:，定點，動點到直線的距離是到定點的距離的2倍.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）若為軌跡上的點，以為圓心，長為半徑作圓，若過點可作圓的兩條切線,（，為切點），求四邊形面積的最大值．

Answer 1

解（1）設(shè)點到的距離為，依題意得，
即，                         ………………………………2分
整理得，軌跡的方程為．            ………………………………4分
（2）（法一）設(shè) ，圓：，其中
由兩切線存在可知，點在圓外，
所以，，即，
又為軌跡上的點，所以．
而，所以，，即． ……………………6分

由（1）知，為橢圓的左焦點，
根據(jù)橢圓定義知，，
所以，而，
所以，在直角三角形中，
，
，
由圓的性質(zhì)知，四邊形面積，其中．………10分
即（）．
令（），則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
所以，在時，取極大值，也是最大值，
此時．           …………………………14分
（法二）同法一，四邊形面積，其中．…10分
所以．
由，解得，所以． ……………………14分

略