Question

橢圓的左、右焦點分別為、，若橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（  ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

試題分析：解：

①當點P與短軸的頂點重合時，△F₁F₂P構成以F₁F₂為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的等腰△F₁F₂P；②當△F₁F₂P構成以F₁F₂為一腰的等腰三角形時，以F₂P作為等腰三角形的底邊為例，∵F₁F₂=F₁P，∴點P在以F₁為圓心，半徑為焦距2c的圓上，因此，當以F₁為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時，存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P，此時a-c＜2c，解得a＜3c，所以離心率e＞當e=時，△F₁F₂P是等邊三角形，與①中的三角形重復，故e≠同理，當F₁P為等腰三角形的底邊時，在e＞ 且e≠ 時也存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P，這樣，總共有6個不同的點P使得△F₁F₂P為等腰三角形，綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈，故選D.
點評：本題給出橢圓的焦點三角形中，共有6個不同點P使得△F₁F₂P為等腰三角形，求橢圓離心率e的取值范圍．著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題