Question

已知過拋物線y²=4x焦點F的直線l與拋物線相交于A，B兩點，若|AF|=4，則|BF|=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程可求得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)過F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁x₂的值，又根據(jù)拋物線定義可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入

1

|AF|

+

1

|BF|

可得其值為1，再由|AF|=4，即可得到|BF|．

解答：解：易知F坐標(biāo)（1，0）準(zhǔn)線方程為x=-1．
設(shè)過F點直線方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程，得 k²（x-1）²=4x．
化簡后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁x₂=1
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

x1+1+x2+1

(x1+1)(x2+1)

=

x1+x2+2

x1+x2+x1x2+1

=

x1+x2+2

x1+x2+2

=1，
又由|AF|=4，則|BF|=

1

1- 1 4

=

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點評：本題主要考查拋物線的應(yīng)用和拋物線定義．對于過拋物線焦點的直線與拋物線關(guān)系，常用拋物線的定義來解決．