Question

如圖, 是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；
（Ⅲ）線段上是否存在點，使得平面？若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由。

Answer 1

(Ⅰ) 只需證 ， 。(Ⅱ)；（Ⅲ）存在點M，。

解析
試題分析：(Ⅰ)證明： 因為平面，
所以.    2分
因為是正方形，
所以，
又相交
從而平面.    4分

(Ⅱ)解：因為兩兩垂直，
所以建立空間直角坐標系如圖所示.
因為與平面所成角為，
即，    5分
所以.
由可知，.   6分
則，，，，，
所以，，  7分
設平面的法向量為，則，
即，令，
則.     8分
因為平面，所以為平面的法向量，，
所以.  9分
因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.   10分
(Ⅲ)解：點是線段上一個點，設.
則，
因為平面，
所以，                                     11分
即，解得.                      12分
此時，點坐標為，故存在點M，，符合題意.   13分
考點：線面垂直的性質定理；線面垂直的判定定理；二面角；線面平行的判定定理。
點評：線面垂直的常用方法：
①線線垂直Þ線面垂直
若一條直線垂直平面內兩條相交直線，則這條直線垂直這個平面。
即
②面面垂直Þ線面垂直
兩平面垂直，其中一個平面內的一條直線垂直于它們的交線，則這條直線垂直于另一個平面。
即
③兩平面平行，有一條直線垂直于垂直于其中一個平面，則這條直線垂直于另一個平面。
即
④兩直線平行，其中一條直線垂直于這個平面，則另一條直線也垂直于這個平面。