Question

己知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：
①當x₁，x₂是定義域中的數時，有f（x₁-x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；
②f（a）=-1（a＞0，a是定義域中的一個數）；
③當0＜x＜2a時，f（x）＜0．
（1）試證明函數f（x）是奇函數．
（2）試證明f（x）在（0，4a）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義，考察f（-x）=-f（x）在定義域內恒成立，則為奇函數；
（2）利用增函數的定義，證明對于（0，4a）內任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域關于原點對稱，x₁，x₂是定義域中的數時，
有f（x₁-x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；
且x₁-x₂，-（x₁-x₂）在定義域中，
∴f[-（x₁-x₂）]=f（x₂-x₁）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x1)-f(x2)

=-

f(x1)•f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

=-f（x₁-x₂）；
∴f[-（x₁-x₂）]=-f（x₁-x₂）
⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數．
（2）設0＜x₁＜x₂＜2a，則0＜x₂-x₁＜2a，
∵在（0，2a）上，f（x）＜0，
∴f（x₁），f（x₂），f（x₂-x₁）均小于零，
進而知f（x₂-x₁）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x1)-f(x2)

中，f（x₁）-f（x₂）＜0，
于是f（x₁）＜f（x₂），
∴在（0，2a）上，f（x）是增函數．
又f（a）=f（2a-a）=

f(2a )•f(a)+1

f(a )-f(2a)

，
∵f（a）=-1，∴-1=

f(2a )•f(a)+1

f(a )-f(2a)

，
∴f（2a）=0，設2a＜x＜4a，則0＜x-2a＜2a，
f（x-2a）=

f(x )•f(2a)+1

f(2a )-f(x)

=

1

-f(x)

＜0，于是f（x）＞0，
即在（2a，4a）上，f（x）＞0．
設2a＜x₁＜x₂＜4a，則0＜x₂-x₁＜2a，
從而知f（x₁），f（x₂）均大于零，f（x₂-x₁）＜0，
∵f（x₂-x₁）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x1)-f(x2)

，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即
f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數．
綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的判斷、函數單調性的判斷與證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．