Question

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣，其中，若點在矩陣的變換下得到點，
（Ⅰ）求實數a的值；   （Ⅱ）求矩陣的特征值及其對應的特征向量.
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
已知直線的極坐標方程為，圓的參數方程為
（其中為參數）.
（Ⅰ）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）求圓上的點到直線的距離的最小值.

Answer 1

（1）選修4-2：矩陣與變換
解：（1）解：（Ⅰ）由=，∴. -------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則矩陣的特征多項式為
 --------------------------5分
令，得矩陣的特征值為與4. （5分）
當時，
∴矩陣的屬于特征值的一個特征向量為;  ---------------------------------6分
當時，
∴矩陣的屬于特征值的一個特征向量為.  ------------------------------7分
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
（Ⅰ）以極點為原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系. ----------------1分

----------------2分
所以，該直線的直角坐標方程為：----------------3分
（Ⅱ）圓的普通方程為：----------------4分
圓心到直線的距離---------------5分
所以，圓上的點到直線的距離的最小值為----------------7分

略