Question

已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，斜率為2

2

的直線交拋物線于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，且|AB|=9，
（1）求該拋物線的方程；
（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若

OC

=

OA

+λ

OB

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）直線AB的方程與y²=2px聯立，有4x²-5px+p²=0，從而x₁+x₂=

5p

4

，再由拋物線定義得：|AB|=x₁+x₂+p=9，求得p，則拋物線方程可得．
（2）由p=4，4x²-5px+p²=0求得A（1，-2

2

），B（4，4

2

）．再求得設

OC

的坐標，最后代入拋物線方程即可解得λ．

解答：解：（1）直線AB的方程是y=2

2

（x-

p

2

），與y²=2px聯立，有4x²-5px+p²=0，
∴x₁+x₂=

5p

4

由拋物線定義得：|AB|=x₁+x₂+p=9
∴p=4，∴拋物線方程是y²=8x．
（2）由p=4，4x²-5px+p²=0得：x²-5x+4=0，
∴x₁=1，x₂=4，
y₁=-2

2

，y₂=4

2

，從而A（1，-2

2

），B（4，4

2

）．
設

OC

=（x₃，y₃）=（1，-2

2

）+λ（4，4

2

）=（4λ+1，4

2

λ-2

2

）
又[2

2

（2λ-1）]²=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基本的分析問題的能力和基礎的運算能力．