Question

(08年龍巖一中沖刺理)（12分）

已知雙曲線的兩個焦點為，，為動點，若，為定值（其中>1），的最小值為.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設點，過點作直線交軌跡于，兩點，判斷的大小是否為定值？并證明你的結論.

Answer 1

解析：（Ⅰ）依題意點的軌跡為以雙曲線的兩個焦點為焦點，且長軸為的橢圓。設橢圓方程為（）            ………………1分

由雙曲線方程，得雙曲線兩個焦點為（-1，0），（1，0），設，,，，

由余弦定理得………3分

又 ，當時取“=”，即

∴  ，得    ∴ 

∴  動點軌跡方程為                         ………………6分

（Ⅱ）當軸時，直線的方程為，代入解得、的坐標分別為、   而，∴，

猜測為定值。                            ………………………7分

證明：設直線的方程為，

由  ，得

∴ ，             ………………9分

∴

         

         

         

         

∴ 為定值.                          ………………………12分