Question

已知兩定點M（4，0），N（1，0），動點P滿足|

PM

|=2|

PN

|．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若點G（a，0）是軌跡C內部一點，過點G的直線l交軌跡C于A、B兩點，令f(a)=

GA

•

GB

，求f（a）的取值范圍．

Answer 1

（1）設P的坐標為（x，y），則

PM

=(4-x，-y)，

PN

=(1-x，-y)
∵動點P滿足|

PM

|=2|

PN

|，
∴

(4-x)2+y2

=2

(1-x)2+y2

，
整理得x²+y²=4；
（2）①當直線l的斜率不存在時，直線的方程為x=a，不妨設A在B的上方，直線方程與x²+y²=4聯立，可得A（a，

4-a2

），B（a，-

4-a2

），
∴f(a)=

GA

•

GB

=（0，

4-a2

）•（0，-

4-a2

）=a²-4；
②當直線l的斜率存在時，設直線的方程為y=k（x-a），
代入x²+y²=4，整理可得（1+k²）x²-2ak²x+（k²a²-4）=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2ak2

1+k2

，x₁x₂=

k2a2-4

1+k2

∴f(a)=

GA

•

GB

=（x₁-a，y₁）•（x₂-a，y₂）=x1x2-a(x1+x2)+k2(x1-a)(x2-a)=a²-4，
由①②得f（a）=a²-4，
∵點G（a，0）是軌跡C內部一點，
∴-2＜a＜2，∴0≤a²＜4，∴-4≤a²-4＜0，
∴f（a）的取值范圍是[-4，0）．