Question

（本小題滿分14分）
已知函數對任意實數均有，其中常數為負數，且在區間上有表達式.
（1）求，的值；
（2）寫出在上的表達式，并討論函數在上的單調性；
（3）求出在上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值.

Answer 1

（1），
（2）
在與上為增函數，在上為減函數；
（3）①而在處取得最小值，在處取得最大值．
②時，在與處取得最小值，在與處取得最大值．
③時，在處取得最小值，在處取得最大值．

本題主要考查了函數的基本性質，考查了分類討論、函數與方程、數形結合數學思想方法，考查轉化與化歸的能力、邏輯推理能力。
（1），
．
（2）對任意實數，
．
當時，；
當時，．
故
在與上為增函數，在上為減函數；
（3）由函數在上的單調性可知，
在或處取得最小值或，而在或處取得最大值或．
故有
①而在處取得最小值，在處取得最大值．
②時，在與處取得最小值，在與處取得最大值．
③時，在處取得最小值，在處取得最大值．
點評：函數基本性質的考查是高考熱點問題之一，從近幾年的高考看，函數問題是高考中的重點考查內容之一，分值近40分左右，主要是考查函數解析式、定義域、值域（最值、參數取值范圍）、函數的圖象、單調性、奇偶性等性質，考查的函數也是常見的二次函數、指數對數函數為主，但會將這幾種函數結合起來、將抽象函數與具體函數結合起來的趨勢，這種命題的趨勢在今后幾年內繼續保持。