Question

已知方向向量為

v

=(1，

3

)的直線l過點(0，-2

3

)和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右焦點，且橢圓的離心率為

6

3

．
（1）求橢圓C的方程：
（2）若已知點M，N是橢圓C上不重合的兩點，點D（3，0）滿足

DM

=λ

DN

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求出直線l的方程，找出橢圓的右焦點坐標，再利用橢圓的離心率為

6

3

，就可求出橢圓C的方程：
（2）把直線MN的方程與橢圓方程聯立找到關于點M，N縱坐標的方程，再利用

DM

=λ

DN

所給出的點M，N縱坐標之間的關系，二者聯立借助與判別式大于0就可求實數λ的取值范圍．

解答：解：（1）因為直線l的方向向量為

v

=(1，

3

)所以直線斜率為k=

3

，
又因為直線過點(0，-2

3

)
所以直線方程為y+2

3

=

3

x
因為a＞b，所以橢圓的右焦點為直線與軸的交點，∴橢圓的右焦點為（2，0），所以c=2
∵e=

c

a

=

6

3

，∴a=

6

，∴b²=a²-c²=2
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1
（2）由已知設直線MN的方程為x=my+3，
由

x2 6 + y2 2 =1 x=my+3

?（m²+3）y²+6my+3=0，設M．N坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
則y₁+y₂=-

6m

m2+3

   ①y₁y₂=

3

m2+3

     ②
△=36m²-12（m²+3）＞0?m²＞

3

2

∵

DM

=（x₁-3，y₁），

DN

=（x₂-3，y₂），

DM

=λ

DN

，顯然λ＞0且λ≠1
∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂）∴y₁=λy₂，
代入①②得  λ+

1

λ

=

12m2

m2+3

-2=10-

36

m2+3

，
∵m²＞

3

2

?2＜λ+

1

λ

＜10?

λ2-2λ+1＞0 λ2-10λ+1＜0

解得5-2

6

＜λ＜5+2

6

且λ≠1

點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．還涉及到直線的方程與斜率，考查運算能力與思維能力、綜合分析問題的能力．