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已知函數f(x)=
mx+n
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數，且f(
1
2
)=
2
5

（1）求實數m，n的值
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數
（3）解關于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．
分析：（1）根據函數奇偶性的性質，建立方程關系即可求實數m，n的值．
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數．
（3）根據函數的奇偶性和單調性之間的關系解關于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0即可．
解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即
m(-x)+n
1+(-x)2
=-
mx+n
1+x2
，
∴n=0，
∵f(
1
2
)=
2
5
，
∴m=1
（2）由（1）得f(x)=
x
1+x2
，
設-1＜x1＜x2＜1，
則f(x1)-f(x2)=
x1
1+
x
2
1
-
x2
1+
x
2
2
=
x1(1+
x
2
2
)-x2(1+
x
2
1
)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)

∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+
x
2
1
＞0，1+
x
2
2
＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即 f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（-1，1）上為增函數．
（3）∵f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，
∴由f（t-1）+f（t）＜0，
得：f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∵f（x）在（-1，1）上為增函數
∴
-1＜t＜1
-1＜1-t＜1
t＜1-t
，
解得 0＜t＜
1
2
．
點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及利用定義法證明函數的單調性，綜合考查函數奇偶性和單調性的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=m-
22x+1
是R上的奇函數，
（1）求m的值；
（2）先判斷f（x）的單調性，再證明之．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湘潭三模）已知函數f(x)=(m+
1
m
)lnx+
1
x
-x，（其中常數m＞0）
（1）當m=2時，求f（x）的極大值；
（2）試討論f（x）在區間（0，1）上的單調性；
（3）當m∈[3，+∞）時，曲線y=f（x）上總存在相異兩點P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲線y=f（x）在點P、Q處的切線互相平行，求x1+x2的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=m-
1
1+ax
(a＞0且a≠1，m∈R)是奇函數．
（1）求m的值．
（2）當a=2時，解不等式0＜f(x2-x-2)＜
1
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
m•3x-1
3x+1
是定義在實數集R上的奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）若x滿足不等式4x+
1
2
-5•2x+1+8≤0，求此時f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=m(sinx+cosx)4+
1
2
cos4x在x∈[0，
π
2
]時有最大值為
7
2
，則實數m的值為
 
．

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