Question

已知函數的導函數y=f'（x）的兩個零點為-3和0．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）的極小值為-e³，求f（x）在區間[-5，+∞）上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數f′（x），根據y=f'（x）的兩個零點-3和0以及a的符號，即可解得不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，從而得到函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及所給已知條件可求出f（x），再利用導數即可求得函數f（x）在閉區間上的最大值；
解答：解：（Ⅰ），
令g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c，
因為e^x＞0，所以y=f'（x）的零點就是g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c的零點，且f'（x）與g（x）符號相同．
又因為a＞0，所以-3＜x＜0時，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
當x＜-3，或x＞0時，g（x）＜0，即f'（x）＜0，
所以f（x）的單調增區間是（-3，0），單調減區間是（-∞，-3），（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=-3是f（x）的極小值點，所以有，
解得a=1，b=5，c=5，
所以．
∵f（x）的單調增區間是（-3，0），單調減區間是（-∞，-3），（0，+∞），
∴f（0）=5為函數f（x）的極大值，
∴f（x）在區間[-5，+∞）上的最大值取f（-5）和f（0）中的最大者．
而＞5，所以函數f（x）在區間[-5，+∞）上的最大值是5e⁵．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及函數在閉區間上的最值問題，考查學生分析問題解決問題的能力，屬中檔題．