Question

（2006•寶山區二模）如圖，兩條鐵路線垂直相交于站A，已知AB=100公里，甲火車從A站出發，沿AC方向以50公里/小時的速度行駛，同時乙火車以v公里/小時的速度從B站沿BA方向行駛至A站，在乙火車從B站到A站的過程中．
（1）用V表示甲、乙兩車的最近距離（兩車的車長忽略不計）；
（2）若從開始行駛到甲、乙兩車相距最近時，所用時間為t₀小時，問V為何值時，t₀最大．

Answer 1

分析：（1）設乙車行駛t小時到D，甲車行駛t小時到E，分類討論，利用二次函數確定最值；
（2）利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）設乙車行駛t小時到D，甲車行駛t小時到E
若0≤vt≤100，則DE²=AE²+AD²=（100-vt）²+（50t）²=（2500+v2）t²-200vt+10000
∴t=

100v

2500+v2

時，DE²取到最小值，DE也取到最小值，最小值為

500

v2+2500

若vt＞100，乙車停止，甲車繼續前行，DE越來越大，無最大值
綜上，甲，乙兩車的最近距離為

500

v2+2500

公里；
（2）t0=

100v

2500+v2

=

100

2500 v +v

≤

100

100

=1，當且僅當v=

2500

v

，即v=50公里/小時，t₀最大

點評：本題考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．