Question

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．
已知數列{}和{}滿足：對于任何，有，為非零常數），且．
（1）求數列{}和{}的通項公式；
（2）若是與的等差中項，試求的值，并研究：對任意的，是否一定能是數列{}中某兩項（不同于）的等差中項，并證明你的結論．

Answer 1

略

解析（1）【解一】由得，
．
又，，．
所以，{}是首項為1，公比為的等比數列，．…………………………….5分
由，得

所以，當時，……………………………………………….6分
上式對顯然成立．………………………………………………………………………..1分
【解二】猜測，并用數學歸納法證明…………………………………………….5分
的求法如【解一】  ………………………………………………………………………..7分
【解三】猜測，并用數學歸納法證明………………………….7分
  …………………………………………………………………..5分
（2）當時，不是與的等差中項，不合題意；……………………………….1分
當時，由得，
由得（可解得）..…………………………………………2分
對任意的，是與的等差中項． .………………………………….2分
證明：，
，                    .………………………………….3分
即，對任意的，是與的等差中項．