Question

已知函數f(x)＝a^x＋ (a>1)．
(1)證明：函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數；
(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負數根．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析

證明：(1)任取x₁，x₂∈(－1，＋∞)，不妨設x₁<x₂，
由于a>1，ax₁<ax₂，∴ax₂－ax₁>0.
又∵x₁＋1>0，x₂＋1>0，
∴－
＝
＝>0，
于是f(x₂)－f(x₁)＝ax₂－ax₁＋－>0，
即f(x₂)>f(x₁)，
故函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數．
(2)證法一：假設存在x₀<0(x₀≠－1)滿足f(x₀)＝0，
則ax₀＝－.
∵a>1，
∴0<ax₀<1.
∴0<－<1，即<x₀<2，與假設x₀<0相矛盾，
故方程f(x)＝0沒有負數根．
證法二：假設存在 x₀<0(x₀≠－1)滿足f(x₀)＝0，
①若－1<x₀<0，
則<－2,0<ax₀<1，
∴f(x₀)<－1，與f(x₀)＝0矛盾．
②若x₀<－1，則>0,1>ax₀>0，
∴f(x₀)>0，與f(x₀)＝0矛盾，
故方程f(x)＝0沒有負數根．