Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且|AF|+|BF|=2

2

，|AB|最小值為2．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若圓：x2+y2=

2

3

的切線l與橢圓E相交于P，Q兩點，當P，Q兩點橫坐標不相等時，問：OP與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A（x₀，y₀）B（-x₀，y₀）F（c，0）（c²=a²+b），由橢圓定義及|AF|+|BF|=2

2

可求a，而
|AB|=

(2x0)2+(2y0)2

=2

x02+(1- x02 a2 )b2

=2

b2+ c2x02 a2

可求b，進而可求橢圓方程
（Ⅱ）由題設條件可知直線的斜率存在，設直線L的方程為y=kx+m，由L與圓x2+y2=

2

3

相切，可得

|m|

1+k2

=

6

3

L的方程為y=kx+m代入

x2

2

+y2=1中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），
Q（x₂，y₂），x1+x2=

-4km

1+2k2

，要證

OP

⊥

OQ

，只要證明

OP

•

OQ

=0即可

解答：解：（Ⅰ）設A（x₀，y₀）B（-x₀，y₀）F（c，0）（c²=a²+b）
則|AF|+|BF|=2a=2

2

∴a=

2

-----------------------------------------（1分）|AB|=

(2x0)2+(2y0)2

=2

x02+(1- x02 a2 )b2

=2

b2+ c2x02 a2

∵0≤x₀²≤a²∴|AB|_min=2b=2∴b=1所以有橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1-----------------（5分）
（Ⅱ）由題設條件可知直線的斜率存在，設直線L的方程為y=kx+m
L與圓x2+y2=

2

3

相切，
∴

|m|

1+k2

=

6

3

∴m2=

2

3

(k2+1)-----------------（7分）
L的方程為y=kx+m代入

x2

2

+y2=1中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
x1+x2=

-4km

1+2k2

①
x1x2=

2m2-2

1+2k2

②
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

1+2k2

③--------------------（10分）

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

2m2-2

1+2k2

+

m2-2k2

1+2k2

=

3m2-2k2-2

1+2k2

=0
∴

OP

⊥

OQ

------------------------------------------------------（12分）

點評：本題主要考查了由橢圓的性質、定義求解橢圓的方程，直線與圓、橢圓的位置關系的應用，解題中要求考試具備一定的邏輯推理、計算的能力．