Question

有8張卡片分別標有數字1,2,3,4,5,6,7,8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為5，則不同的排法共有多少種？

Answer 1

1 248(種)

解：由題意知中間行的兩張卡片的數字之和是5，因此中間行的兩個數字應是1，4或2，3.若中間行兩個數字是1，4，則有A₂²種排法，此時A、B、E、F的數字有以下幾類：

A	B
C	D
E	F

(1)若不含2,3，共有A₄⁴＝24(種)排法．
(2)若含有2,3中的一個，則有C₂¹C₄³A₄⁴＝192(種)(C₂¹是從2,3中選一個，C₄³是從5,6,7,8中選3個，A₄⁴將選出的4個數字排在A、B、E、F處)．
(3)含有2,3中的兩個，此時2,3不能排在一行上，因此可先從2,3中選1個，排在A，B中一處，有C₂¹A₂¹種，剩下的一個排在E、F中的一處有A₂¹種，然后從5,6,7,8中選2個排在剩余的2個位置有A₄²種．
因此共有C₂¹A₂¹A₂¹A₄²＝96(種)排法．
所以中間一行數字是1,4時共有A₂²(24＋192＋96)＝624(種)．當中間一行數字是2,3時也有624種．因此滿足要求的排法共有624×2＝1 248(種)．