Question

已知a是給定的實常數，設函數f（x）=（x-a）²（x+b）e²，b∈R，x=a是f（x）的一個極大值點，求b的取值范圍．

Answer 1

解：f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，
則△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是，假設x₁，x₂是g（x）=0的兩個實根，且x₁＜x₂．
（1）當x₁=a或x₂=a時，則x=a不是f（x）的極值點，此時不合題意．
（2）當x₁≠a且x₂≠a時，由于x=a是f（x）的極大值點，故x₁＜a＜x₂．
即g（a）＜0
即a²+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0
所以b＜-a
所以b的取值范圍是：（-∞，-a）
分析：先求出函數f（x）的導函數f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，討論g（x）=0的兩個實根x₁，x₂是否為a，從而確定x=a是否是f（x）的一個極大值點，建立不等關系即可求出b的范圍．
點評：本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創新意識．