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已知雙曲線(a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)為A(-1，0)，過點(diǎn)A作兩條直線分別交雙曲線的右支于B(x1，y1)、C(x2，y2)兩點(diǎn)，且ABC為正三角形.

(Ⅰ)證明：B、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱；

(Ⅱ)設(shè)x1＞2，求b的取值范圍.

(Ⅰ)證：∵|AB|=|AC|,∴(x1+x2)2+=(x2+1)2+

∵a=1   ∴

∴(x1+1)2+b2(-1)=(x2+1)2+b2(-1)

整理，得  (x1-x2)[(x1+x2)(1+b2)+2]=0 

∵x1＞0,x2＞0,∴(x1+x2)(1+b2)+2＞0

∴x1=x2 

∴BC⊥x軸，根據(jù)雙曲線的對稱性，B、C關(guān)于x軸對稱 

(Ⅱ)解:(法一)根據(jù)(Ⅰ)及∠A=,設(shè)AB的方程為y=(x+1)

代入x2-=1并整理，得

(3b2-1)x2-2x-(3b2+1)=0 

∵-1,x1是方程的兩根，且x1＞2

∴3b2-1＞0,且-1·x1= 

∴

∵b＞0,∴b的取值范圍為() 

(法二)根據(jù)(Ⅰ)及∠A=60°,得y1=(x1+1) 

∵B(x1,y1)在雙曲線x2-=1上，

∴ 

整理得b2=

∵x1＞2,∴0＜1+＜3,∴＜b2＜1

∵b＞0,∴＜b＜1,∴b的取值范圍是(,1).

練習(xí)冊系列答案
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已知雙曲線(a＞0,b＞0),F1、F2為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，求|PF1|·|PF2|的最小值.

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A.30°                    B.45°                    C.60°                    D.90°

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５已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是

A.( 1,2)          B. (1,2)           C.[2,+∞]           D.(2,+∞)

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已知雙曲線 (a＞0，b＞0) 的焦點(diǎn)到漸近線的距離是a，則雙曲線的離心率的值是     ．

 

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