Question

（2013•永州一模）在直角坐標系xoy中，橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，F是拋物線C₂：y²=4x的焦點，C₁與C₂交于M，N兩點（M在第一象限），且|MF|=2．
（1）求點M的坐標及橢圓C₁的方程；
（2）若過點N且斜率為k的直線l交C₁于另一點P，交C₂于另一點Q，且MP⊥MQ，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線方程可求得p值，設M（x₀，y₀），由拋物線定義及|MF|=2可得x₀+

p

2

=x0+1=2，解得x₀=1，進而得y₀=2，由離心率e=

3

2

及a²=b²+c²可得a，b關系，從而橢圓方程可變為含b的方程，把M坐標代入即可求得b值，進而得到a值；
（2）點N（1，-2），則直線l的方程為y+2=k（x-1），分別與橢圓方程、拋物線方程聯立消掉y、x得x、y的二次方程，由韋達定理可用k表示點P、Q的坐標，從而可得向量

MP

、

MQ

的坐標，由MP⊥MQ有

MP

•

MQ

=0，得關于k的方程，解出即可；

解答：
解：（1）拋物線C₂：y²=4x，2p=4，p=2，
設M（x₀，y₀），則|MF|=x₀+

p

2

=x0+1=2，解得x₀=1，所以y₀=2，即M（1，2），
橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

c

a

=

3

2

，
得 

c2

a2

=

3

4

，

b2

a2

=

1

4

，a=2b，
橢圓C₁：

y2

4b2

+

x2

b2

=1過點M（1，2），所以

4

4b2

+

1

b2

=1，
求得b=

2

，a=2

2

，
所以橢圓C₁的方程是

y2

8

+

x2

2

=1．
（2）點N（1，-2），直線l的方程為y+2=k（x-1），
與C₁：y²+4x²=8，聯立消去y得：4x²+（kx-k-2）²=8，
整理得（4+k²）x²-2k（k+2）x+k²+4k-4=0（i），
設P（x₁，y₁），易知1，x₁是方程（i）的兩根，x₁=

k2+4k-4

4+k2

，
代入直線l的方程得y1=

2k2-8k-8

4+k2

，
y+2=k（x-1）與y²=4x聯立消去x得：ky²-4y-4k-8=0（ii），
顯然k≠0，設點Q（x₂，y₂），易知-2，y₂是方程（ii）的兩根，-2•y₂=

-4k-8

k

，
得y2=

2k+4

k

，代入拋物線得x2=

(k+2)2

k2

，
故P(

k2+4k-4

4+k2

，

2k2-8k-8

4+k2

)，Q(

(k+2)2

k2

，

2k+4

k

)，M（1，2），

MP

=(

4k-8

4+k2

，

-8k-16

4+k2

)，

MQ

=(

4k+4

k2

，

4

k

)，
由MP⊥MQ有

MP

•

MQ

=0，即

(4k-8)(4k+4)

k2(4+k2)

+

4(-8k-16)

(4+k2)

=0，
整理得k²+5k+2=0，解得k=

-5± 17

2

．

點評：本題考查直線方程、橢圓和拋物線方程及其位置關系，考查向量的數量積運算及韋達定理的應用，考查學生綜合解決問題的能力．