Question

一般地，我們把函數h（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀（n∈N）稱為多項式函數，其中系數a₀，a₁，…，a_n∈R．
設 f（x），g（x）為兩個多項式函數，且對所有的實數x等式f[g（x）]=g[f（x）]恒成立．
（Ⅰ） 若f（x）=x²+3，g（x）=kx+b（k≠0）．
①求g（x）的表達式；
②解不等式f（x）-g（x）＞5．
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）無實數解，證明方程f[f（x）]=g[g（x）]也無實數解．

Answer 1

（Ⅰ）①∵f[g（x）]=g[f（x）]即（kx+b）²+3=k（x²+3）+b k²x²+2kbx+b²+3=kx²+3k+b
∴

k=k2 2kb=0 b2+3=3k+b

解得

k=1 b=0

∴g（x）=x
②f（x）-g（x）＞5，即x²-x+3＞5 解得 x＞2或x＜-1
（Ⅱ）反證法：F（x）=f（x）-g（x）則 F[f（x）]=f[f（x）]-g[f（x）]F[g（x）]=f[g（x）]-g[g（x）]若結論成立，則推出 F[f（x）]+F[g（x）]=0； 即F[f（x）]=-F[g（x）]說明存在一點a，a介于f（x）與g（x）之間，滿足F（a）=0 因為f（x）=g（x）無實數解，則F（x）=0永遠不成立，推出假設不成立，
方程f（x）=g（x）無實數解，方程f[f（x）]=g[g（x）]也無實數解．證畢