Question

如圖，已知△OAP的面積為S，．設，，并且以O為中心、A為焦點的橢圓經過點P．當取得最小值時，則此橢圓的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：先以O為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系，=c，P點坐標為（x，y），則••|y|=，即 ．因為 =（c，0），=（x-c，y），•=1，可得 ==，設 ，判斷知f（c）在[2，+∞）上是增函數；所以當c=2時，f（c）為最小，從而 為最小，此時P（ ），最終得到答案．
解答：解：如圖，以O為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系
設，，
∴••|y|=，∴
∵=（c，0），=（x-c，y），•=1
∴c（x-c）=1，∴
∴==
設 ，當c≥2時，任取c₂＞c₁≥2
有
當c₂＞c₁≥2時，
∴f（c₂）-f（c₁）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函數
∴當c=2時，f（c）為最小，從而 為最小，此時P（ ）
設橢圓的方程為 ，則 ∴a²=10，b²=6
故橢圓的方程為 ．
故答案為：．
點評：本題主要考查向量的數量積運算和橢圓的標準方程的求法，解答的關鍵對向量的運算要相當熟悉，同時要善于利用函數思想求最值．