Question

28、已知數列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a為實數），且b_n=a_n．a_n+1，其中n=1，2，3，…
（1）求證：“若數列{a_n}是等比數列，則數列{b_n}也是等比數列”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題；判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據數列{a_n}是等比數列，寫出數列的通項，由b_n=a_n．a_n+1，表示出數列{b_n}的后一項與前一項之比，約分之后，得到比值是一個定值，結論得證．
（2）把（1）中命題的逆命題寫出來，用類似于（1）的方法檢驗是否正確，結果發現奇數項是以1為首項，q為公比的等比數列，偶數項是以a為首項，q為公比的等比數列，所以逆命題不正確．

解答：解：（I）因a_n是等比數列，
a₁=1，a₂=a
∴a_n=a^n-1
∵b_n=a_n．a_n+1，
∴

bn+1

bn

=

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=a2
∴b_n是以a為首項，a²為公比的等比數列．
（II）（I）中命題的逆命題是：若b_n是等比數列，則a_n也是等比數列，是假命題．
設b_n的公比為q則

bn+1

bn

=

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，(q≠0)
又a₁=1，a₂=a
∴a₁，a_3，…a_2n-1是以1為首項，q為公比的等比數列，
a₂，a₄…a_2n…是以a為首項，q為公比的等比數列，
即a_n為1，a，q，aq，q²，aq²，
但當q≠a²時，a_n不是等比數列，故逆命題是假命題．

點評：培養學生善于分析題意，富于聯想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函數的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養學生主動探索的精神和科學理性的思維方法．