Question

已知橢圓 +y²=1的左焦點為F，O為坐標原點.

（1）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程;

（2）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.

Answer 1

解：（1）∵a²=2,b²=1,

∴c=1,F(-1,0),l:x=-2

∵圓過點O、F，

∴圓心M在直線x=上.

設M（，t），則圓半徑

r=|（）-（-2）|=.

由|OM|=r，得，

解得t=±.

∴所求圓的方程為（x+）²+（y±）²=.

(2)設直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),

代入+y²=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0.

∵直線AB過橢圓的左焦點F，

∴方程有兩個不等實根.

記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x₀，y₀），

則x₁+x₂=，

∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y₀=(x-x₀).

令y=0，得x_G=x₀+ky₀=.

∵k≠0,∴-12＜x_G＜0,

∴點G橫坐標的取值范圍為（，0）.