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精英家教網已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）當
6
＜m＜4
6
時，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ的取值范圍；
（2）設|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，若以中心O為坐標原點，焦點F在x非負半軸上的雙曲線經過點Q，當|
OQ
|取得最小值時，求此雙曲線的方程．
分析：（1）利用兩個向量的數量積的定義和三角形面積公式，推出tanθ的解析式，再根據m的范圍，求得tanθ
的范圍，進而求得θ的取值范圍．
（2）設出雙曲線的標準方程和點Q的坐標，有三角形的面積公式求出點Q的橫坐標和縱坐標（用半焦距表示），用基本不等式求出|
OQ
|最小時點Q的坐標，從而得到雙曲線方程中的待定系數．
解答：解：（1）由已知得
1
2
OF
• 
FQ
sin(π-θ)=2
6
OF
 • 
FQ
cosθ =m
，∴tanθ=
4
6
m
，
∵
6
＜m＜4
6
，∴1＜tanθ＜4，∴
π
4
＜θ＜arctan4．
（2）設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，（a＞0，b＞0），不妨設點Q的坐標為（m，n），
n＞0，則
FQ
=（m-c，n），∵△OFQ的面積為
1
2
|
OF
|•n=2
6
，∴n=
4
6
c
．
又由
OF
•
FQ
=（c，0）•（m-c，n）=c（m-c）=（
6
4 
-1）c2，∴m=
6
c
4
，
|
OQ
|=
m2+n2
=
3c2
8
+
96
c2
≥
12
，當且僅當c=4時，|
OQ
|有最小值，
此時，點Q的坐標為（
6
，
6
），由此可得
6
a2
-
6
b2
=1
a2+b2=16
，解得
a2=4
b2=12
，
故所求的方程為：
x2
4
-
y2
12
=1．
點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，三角形的面積公式以及基本不等式的應用，用待定系數法求雙曲線的方程．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知△OFQ的面積為S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范圍；
（Ⅱ）設|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O為中心，F為一個焦點的橢圓經過點Q，以c為變量，當|
OQ
|取最小值時，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m，?
（1）設
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ的取值范圍；?
（2）設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q（如圖），|
OF
|=c，m=（
6
4
-1）c2，當|
OQ
|取最小值時，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ正切值的取值范圍；
（2）設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q（如圖），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當|
OQ
|取得最小值時，求此雙曲線的方程．
（3）設F1為（2）中所求雙曲線的左焦點，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點，且2|AB|=5|F1F|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•天津一模）已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設4
2
＜m＜4
6
，求向量
OF
•
FQ
夾角θ的取值范圍；
（2）設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q（如圖），若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當|
OQ
|取最小值時，求此雙曲線的方程．

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