Question

（本小題滿分14分）
在數列和中，已知，其中且。
（I）若，求數列的前n項和；
（II）證明：當時，數列中的任意三項都不能構成等比數列；
（III）設集合，試問在區間[1，a]上是否存在實數b使得，若存在，求出b的一切可能的取值及相應的集合C；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）（2）略（3）b=1

（I）因為          …………1分
由
所以                                           …………3分
因為                                 …………4分
所以是等差數列，                             …………4分
所以數列…………5分
（II）由已知
假設成等比數列，其中，且彼此不等，
則                         …………6分

可得矛盾。                                          …………7分
為無理數，
所以是整數矛盾。  …………9分
所以數列中的任意三項都不能構成等比數列。
（III）設存在實數，

所以整除。                                          …………10分
（1）當
所以                                                  …………11分
（2）當，

所以，當且僅當整除。          …………12分
（3）當時，

整除。                                                …………13分
綜上，在區間[1，a]上存在實數b，使成立，且當b=1時，

…………14分