Question

已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？

Answer 1

分析：由題意圓柱的底面為球的截面，由球的截面性質(zhì)可得出圓柱的高為h、底面半徑為r與球的半徑為R的關系，再用h和r表示出圓柱的側(cè)面積，利用基本不等式求最值即可．

解答：解：如圖為軸截面，令圓柱的高為h，
底面半徑為r，側(cè)面積為S，
則（

h

2

）²+r²=R²，
即h=2

R2-r2

．
∵S=2πrh=4πr•

R2-r2

=4π

r2•(R2-r2)

≤4π

(r2+R2-r2)2 2

=2πR²，
取等號時，內(nèi)接圓柱底面半徑為

2

2

R，高為

2

R．

點評：本題考查球與圓柱的組合體問題、以及利用基本不等式求最值問題，難度一般．