Question

設x≥0，y≥0且x+2y=

1

2

，求函數S=log 

1

2

（8xy+4y²+1）的最值．

Answer 1

分析：根據已知中x≥0，y≥0且x+2y=

1

2

，利用代入消元法，可將函數S=log 

1

2

（8xy+4y²+1）的真數部分化為-12y²+4y+1（0≤y≤

1

4

），結合二次函數的圖象和性質，分析真數部分的最值，進而結合對數函數的單調性，可得答案．

解答：解：∵x≥0，y≥0且x+2y=

1

2

，
∴x=-2y+

1

2

，（0≤y≤

1

4

）
令t=8xy+4y²+1=8（-2y+

1

2

）y+4y²+1=-12y²+4y+1，0≤y≤

1

4

則當y=

1

6

時，t取最大值

4

3

，此時函數S取最小值log 

1

2

4

3

；
則當y=0時，t取最小值1，此時函數S取最小值log 

1

2

1=0；

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質，二次函數的圖象和性質，其中熟練掌握二次函數的圖象和性質及對數函數的圖象和性質是解答的關鍵．