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設函數f（x）=
x2+1
，對任意x1，x2∈R，恒有|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|＜M，其中M是常數，則M的最小值是
 
．
分析：|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|的取值范圍等價于函數f（x）=
x2+1
切線斜率絕對值的取值范圍，然后利用導數研究函數f（x）切線斜率絕對值的取值范圍，從而求出所求．
解答：解：|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|的取值范圍等價于函數f（x）=
x2+1
切線斜率絕對值的取值范圍，
而f（x）=
x2+1
，
∴f′（x）=
x
x2+1
，
∴|f′（x）|=
|x|
x2+1
=
1
1+
1
x2
≤1（當且僅當x=±1時取等號），
∴M≥1，M的最小值是1．
故答案為：1．
點評：本題考查了導數的幾何意義，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了分析問題的能力和轉化的思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）求函數f（x）的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x2-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0與g（x0）＜0同時成立，則實數a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=
1x+1
）．
（1）討論f（x）的單調性．
（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求f（x2）的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=x，求實數m的值；
（2）當m=2時，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有兩個不同的實數解，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在實數m，使函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍；
（3）求證：不等式ln
n+1
n
＞
n-1
n3
（n∈N*）恒成立．

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