Question

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩定點A（1，0）、B（0，-1），動點P（x，y）滿足：

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點M、N．若以MN為直徑的圓經過原點，且雙曲線C的離心率等于

3

，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）由點的坐標求出向量的坐標，代入

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)整理即可得到點P的軌跡方程；
（2）聯立兩曲線方程，利用根與系數關系得到兩交點的橫坐標的和與積，再由以MN為直徑的圓經過原點得到

OM

•

ON

=0，代入根與系數關系后得到關于a，b的方程，結合離心率可求解a，b的值，經驗證判別式大于0成立，所以答案可求．

解答：解：（1）∵

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

，
∴（x，y）=m（1，0）+（m-1）（0，-1）
∴

x=m y=1-m

，∴x+y=1即點P的軌跡方程為x+y-1=0
（2）由

x+y=1 x2 a2 - y2 b2

得：（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0
∵點P軌跡與雙曲線C交于相異兩點M、N，∴b²-a²≠0，
且△=4a⁴-4（b²-a²）（-a²-a²b²）＞0（*）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

2a2

b2-a2

，x1x2=-

a2+a2b2

b2-a2

∵以MN為直徑的圓經過原點，∴

OM

•

ON

=0，
即：x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即1+

2a2

b2-a2

-

2(a2+a2b2)

b2-a2

=0
即b²-a²-2a²b²=0①，∵e=

3

，∴e2=

a2+b2

a2

=3，∴b²=2a²②．
∴由①、②解得a=

1

2

，b=

2

2

符合（*）式
∴雙曲線C的方程為4x²-2y²=1．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量數量積在解題中的應用，考查了學生的計算能力，是中檔題．