Question

如圖,在三棱錐A—BCD中,側面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=,BD=CD=1.另一個側面ABC是正三角形.

(1)求證:AD⊥BC;

(2)求二面角B-AC-D的大小;

(3)在線段AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定點E的位置;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解法一：(1)證法一:作AH⊥面BCD于H,連結DH.

AB⊥BDHB⊥BD.

∵AD=,BD=1,

∴AB==BC=AC.

∴BD⊥DC.

又BD=CD,則四邊形BHCD是正方形,則DH⊥BC.

∴AD⊥BC.

證法二:取BC的中點O,連結AO、DO,

則有AO⊥BC,DO⊥BC.

∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.

(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,

則∠BMN就是二面角BACD的平面角.

∵AB=AC=BC=,

∴M是AC的中點,且MN∥CD.

則BM=,MN=CD=,BN=AD=.

由余弦定理得

cos∠BMN=.

∴∠BMN=arccos.

(3)解:假設存在并設E為所求的點,作EF⊥CH于F,連結FD.則EF∥AH,

∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED與面BCD所成的角,則∠EDF=30°.

設EF=x,易得AH=HC=1,則CF=x, FD=.

∴tan∠EDF=,解得x=,則CE==1.

故線段AC上存在E點,且CE=1時,ED與面BCD成30°角.

解法二:(1)證明:作AH⊥面BCD于H,連結BH、CH、DH,則四邊形BHCD是正方形,且AH=1.

以D為原點,以DB為x軸,DC為y軸建立空間直角坐標系,如圖,

則B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).

=(-1,1,0), =(1,1,1).

∴·=0,則BC⊥AD.

(2)解:設平面ABC的法向量為n₁=(x,y,z),

則由n₁⊥知n₁·=-x+y=0.

同理,由n₁⊥知n₁·=x+z=0.

可取n₁=(1,1,-1).

同理,可求得平面ACD的一個法向量為n₂=(1,0,-1).

由圖可以看出二面角BACD的大小應等于〈n₁,n₂〉,

則cos〈n₁,n₂〉==,

即所求二面角的大小是arccos.

(3)解:設E(x,y,z)是線段AC上一點,則x=z＞0,y=1,

平面BCD的一個法向量為n=(0,0,1),=(x,1,x),

要使ED與面BCD成30°角,

由圖可知與n的夾角為60°.

所以cos〈,n〉==cos60°=.

則2x=,解得x=,則CE==1.

故線段AC上存在E點,且CE=1時,ED與面BCD成30°角.