Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右兩焦點分別為F₁，F₂，P是橢圓C上的一點，且在x軸的上方，H是PF₁上一點，若

PF2

•

F1F2

=0，

OH

•

PF1

=0，|

OH

|=λ|

OF1

|，λ∈[

1

3

，

1

2

]（其中O為坐標原點）．求橢圓C離心率e的最大值．

Answer 1

分析：由已知中橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右兩焦點分別為F₁，F₂，P是橢圓C上的一點，且在x軸的上方，H是PF₁上一點，

PF2

•

F1F2

=0，

OH

•

PF1

=0，我們易得PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，進而由|

OH

|=λ|

OF1

|，我們可以得到離心率e平方的表達式，分析出其對應函數的單調性，進而得到橢圓C離心率e的最大值．

解答：解：由題意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，則有△F₁OH與△F₁PF₂相似，
所以

|OH|

|OF1|

=

|PF2|

|F1P|

=λ，設F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），
則有

c2

a2

+

y12

b2

=1，解得y1=

b2

a

，
所以|PF2|=y1=

b2

a

．
根據橢圓的定義得：|F1P|=2a-|PF 2|=2a-

b2

a

，
∴λ=

b2

2a2-b2

，
即

b2

a2

=

2λ

1+λ

，
所以e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

2

1+λ

-1，
∵e2=

2

1+λ

-1在[

1

3

，

1

2

]上是單調減函數，
∴當λ=

1

3

時，e²取最大值

1

2

，
所以橢圓C離心率e的最大值是

2

2

．

點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，橢圓的簡單性質，橢圓的離心率，其中由已知條件求出離心率e平方的表達式，并分析出其對應函數的單調性是解答本題的關鍵．