Question

已知函數(shù)(是常數(shù))在處的切線方程為，且.
（Ⅰ）求常數(shù)的值；
（Ⅱ）若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）證明:.

Answer 1

（Ⅰ），，；（Ⅱ）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析．

試題分析：（Ⅰ）求常數(shù)的值，由函數(shù)(是常數(shù))在處的切線方程為，只需對(duì)求導(dǎo)，讓它的導(dǎo)數(shù)在處的值即為切線的斜率，這樣能得到的一個(gè)關(guān)系式，由，代入函數(shù)中，又得到的一個(gè)關(guān)系式，因?yàn)槿齻�(gè)參數(shù)，需再找一個(gè)關(guān)系式，，注意到在切線上，可代入切線方程得到的一個(gè)關(guān)系式，三式聯(lián)立方程組即可，解此類題，關(guān)鍵是找的關(guān)系式，有幾個(gè)參數(shù)，需找?guī)讉�(gè)關(guān)系式；（Ⅱ）若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，即它的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不恒正或恒負(fù)，即在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn)，而，只要在區(qū)間內(nèi)有解，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，分兩種情況：在區(qū)間內(nèi)有一解，在區(qū)間內(nèi)有兩解，結(jié)合二次函數(shù)圖像，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）證明:，注意到 ，只需證明在上即可，即，而，只需證明在上即可，而，即，只需證在上為減函數(shù)，這很容易證出，此題構(gòu)思巧妙，考查知識(shí)點(diǎn)多，學(xué)科知識(shí)點(diǎn)融合在一起，的確是一個(gè)好題，起到把關(guān)題作用．
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022856985525.png" style="vertical-align:middle;" />,, 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022856970463.png" style="vertical-align:middle;" />在處的切線方程為，所以,且，即,且， 又 ，解得，，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 因此，，     
所以，令. （ⅰ）當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)極值時(shí)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，即在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022857313622.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，即，解得，所以有. （ⅱ）當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)根，即二次函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不等根，所以，解得.      綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022857625638.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，有，所以在上為減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí), ，即， 即當(dāng)時(shí), ， 所以對(duì)一切都成立，所以， ， ， …， ，所以 ， 所以.