Question

已知函數(x≥4)的反函數為，數列滿足：a₁=1，，（N*），數列，，，…，是首項為1，公比為的等比數列．
（Ⅰ）求證：數列為等差數列； （Ⅱ）若，求數列的前n項和．

Answer 1

（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）．

(I)反解x,可得(x≥0),
所以,從而可得（N*）,由等差數列的定義可知數列是等差數列.
(II)由題意可知當n≥2時，,然后采用疊加的辦法求出,從而確定,然后采用錯位相減的方法求和.
（Ⅰ）∵(x≥4)，
∴(x≥0)，
∴，
即（N*）．
∴數列是以為首項，公差為2的等差數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即
（N*）．
b₁=1，當n≥2時，，
∴

因而，N*．
，
∴

令              ①
則     ②
①-②，得
 
∴．又．
∴．