Question

已知△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應的三邊長分別為a、b、c，且有4bcosAcosB=9asin²B．
（Ⅰ）求tanA•tanB的值；
（Ⅱ）求tanC的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用4bcosAcosB=9asin²B，直接求tanA•tanB的值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結果，通過tanC=tan[π-（A+B）]，誘導公式以及兩角和的正切函數(shù)，求出tanC的最大值，然后判斷此時△ABC的形狀．

解答：解：（Ⅰ）∵4bcosAcosB=9asin²B
∴4cosAcosB=9sinAsinB…（3分）
顯然cosAcosB≠0
∴tanA•tanB=

4

9

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，tanA•tanB=

4

9

＞0，故有tanA＞0，tanB＞0
∴tanA+tanB≥2

tanAtanB

=

4

3

…（8分）
∵tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

5

(tanA+tanB)
≤-

9

5

×2

tanA•tanB

=-

12

5

…（10分）
當且僅當tanA=tanB，即A=B時，tanC取得最大值-

12

5

，
此時△ABC為等腰三角形．                  …（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，誘導公式與兩角和的正切函數(shù)的應用，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．