Question

求函數y=x²-2x+3在區間[0，a]上的最大值，并求此時x的值．

Answer 1

分析：把二次函數解析式，即可得到函數的對稱軸為直線x=1，分三種情況考慮：
①當a＜1時，函數在[0，a]上單調遞減，進而得到函數的最大值，及此時x的取值；
②當1≤a≤2時，函數在[0，1]上單調遞減，函數在[1，a]上單調遞增，進而得到函數的最大值，及此時x的取值；
③當a＞2時，函數在[0，1]上單調遞減，函數在[1，a]上單調遞增，進而得到函數的最大值，及此時x的取值；
綜上，函數y=x²-2x+3在區間[0，a]上的最大值及此時x的值．

解答：解：因為函數y=x²-2x+3的圖象開口向上，對稱軸為x=1．
①當a＜1時，函數在[0，a]上單調遞減，
則函數y=x²-2x+3在區間[0，a]上的最大值為3，此時x=0；
②當1≤a≤2時，函數在[0，1]上單調遞減，函數在[1，a]上單調遞增，
則函數y=x²-2x+3在區間[0，a]上的最大值為3，此時x=0；
③當a＞2時，函數在[0，1]上單調遞減，函數在[1，a]上單調遞增，
則函數y=x²-2x+3在區間[0，a]上的最大值為a²-2a+3，此時x=a．
綜上，當a＜1時，函數y=x²-2x+3在區間[0，a]上的最大值為3，此時x=0；
當1≤a≤2時，函數y=x²-2x+3在區間[0，a]上的最大值為3，此時x=0；
當a＞2時，函數y=x²-2x+3在區間[0，a]上的最大值為a²-2a+3，此時x=a．

點評：此題考查了二次函數的圖象與性質，考查了分類討論的數學思想，是一道綜合題．