Question

已知函數（為常數），其圖象是曲線．
（1）當時，求函數的單調減區間；
（2）設函數的導函數為，若存在唯一的實數，使得與同時成立，求實數的取值范圍；
（3）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線，設切線的斜率分別為．問：是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 （1）；（2）；（3）當時，存在常數，使；當時，不存在常數，使.

試題分析：（1）這是一個求函數單調遞減區間的問題，比較簡單，可以通過導數的符號去判斷；（2）這是一個兩方程有公共解且公共解唯一的問題，消去參數后就轉化為含有參數的關于未知數的三次方程有唯一解的問題，可利用三次函數的圖象判斷；（3）可設，然后把點的坐標和都用表示，再考察關于的等式恒成立，從而去確定常數是否存在.
試題解析：(1)當時， .             2分
令f ¢(x)<0，解得，f(x)的單調減區間為．          4分
(2) ，
由題意知消去，得有唯一解．  6分
令，則，
以在區間，上是增函數，在上是減函數，   8分
又，，
故實數的取值范圍是．               10分
(3) 設，則點處切線方程為，
與曲線：聯立方程組，得，即，所以點的橫坐標．         12分
由題意知，，，
若存在常數，使得，則，
即常數，使得，
所以常數，使得解得常數，使得，．    15分
故當時，存在常數，使；當時，不存在常數，使．16分