Question

設函數f（x）=|2x-a|+2a
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集為{x|-6≤x≤4}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，若不等式f（x）＜（k²-1）x-5的解集非空，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得即|2x-a|≤6-2a，即

3

2

a-3≤x≤3-

1

2

a． 再根據它的解集為{x|-6≤x≤4}，可得

3 2 a-3=-6 3- 1 2 a=4

，由此求得a的值．
（Ⅱ）在（I）的條件下，由不等式f（x）＜（k²-1）x-5可得，|2x+2|+1≤（k²-1）x．令g（x）=|2x+2|+1=

2x+3 ， x≥-1 -2x-1 ，x＜-1

，畫出g（x）的圖象，要使不等式f（x）＜（k²-1）x-5的解集非空，只要 k²-1≤-1，或 k²-1＞2，由此求得k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由于函數f（x）=|2x-a|+2a，不等式f（x）≤6，即|2x-a|≤6-2a，即2a-6≤2x-a≤6-2a，
即

3

2

a-3≤x≤3-

1

2

a． 
再根據它的解集為{x|-6≤x≤4}，可得

3 2 a-3=-6 3- 1 2 a=4

，解得 a=-2．
（Ⅱ）在（I）的條件下，f（x）=|2x+2|-4，由不等式f（x）＜（k²-1）x-5可得|2x+2|-4＜（k²-1）x-5，
化簡可得，|2x+2|+1≤（k²-1）x．
令g（x）=|2x+2|+1=

2x+3 ， x≥-1 -2x-1 ，x＜-1

，畫出g（x）的圖象，如圖：
要使不等式f（x）＜（k²-1）x-5的解集非空，只要 k²-1≤-1，或 k²-1＞2，
解得 k＜-

3

，或 k＞

3

，或 k=0，
故k的范圍為{k|k＜-

3

，或 k＞

3

，或 k=0}．

點評：本題主要考查帶由絕對值的函數，絕對值不等式的解法，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．