Question

（2012•濰坊二模）如圖，已知F（2，0）為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點，AB為橢圓的通徑（過焦點且垂直于長軸的弦），線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點C、D，且∠CAD=90°．
（I）求橢圓的方程；
（II）設過點F斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓相交于兩點P、Q．若存在一定點E（m，0），使得x軸上的任意一點（異于點E、F）到直線EP、EQ的距離相等，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可把A、C、D的坐標用含有a，b的代數式表示，由∠CAD=90°，得到

AC

•

AD

=0，代入坐標可得關于a，b的方程，結合a²=b²+4可求解a，b的值，則橢圓方程渴求；
（Ⅱ）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，由根與系數關系寫出兩個交點的橫坐標的和與積，由定點E（m，0）使得x軸上的任意一點（異于點E、F）到直線EP、EQ的距離相等得到k_EP+k_EQ=0，由兩點寫出斜率代入后再把兩根的和與積代入即可求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）F（2，0），則A(2，

b2

a

)，C(1，y0)，D(1，-y0)，其中y0=

b a2-1

a

．
所以

AC

=(-1，y0-

b2

a

)，

AD

=(-1，-y0-

b2

a

)．
因為∠CAD=90°，所以

AC

•

AD

=0．
所以1=y02-

b4

a2

，即

b2(a2-1)

a2

-

b4

a2

=1，
聯立a²=b²+4解得a²=6，所以b²=2．
可得橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0）．
由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0．
所以x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

．
根據題意，x軸平分∠PEQ，則直線EP，EQ的傾斜角互補，即k_EP+k_EQ=0．
設E（m，0），則有

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0．（當x₁=m或x₂=m時不合題意）
將y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2）代入上式，得

k(x1-2)

x1-m

+

k(x2-2)

x2-m

=0．
又k≠0，所以

x1-2

x1-m

+

x2-2

x2-m

=0．
即

(x1-2)(x2-2)+(x2-2)(x1-m)

(x1-m)(x2-m)

=0．
即

2x1x2-(m+2)(x1+x2)+4m

(x1-m)(x2-m)

=0，
∴2x₁x₂-（m+2）（x₁+x₂）+4m=0．
將x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

代入，解得m=3．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法及學生的運算能力，解答的關鍵是計算的準確性，是有一定難度題目．